所謂的圖靈機就是指一個抽象的機器，它有一條無限長的紙帶，紙帶分成了一個一個的小方格，每個方格有不同的顏色。有一個機器頭在紙帶上移來移去。機器頭有一組內部狀態(tài)，還有一些固定的程序。在每個時刻，機器頭都要從當前紙帶上讀入一個方格信息，然后結合自己的內部狀態(tài)查找程序表，根據程序輸出信息到紙帶方格上，并轉換自己的內部狀態(tài)，然后進行移動。

發(fā)明者

1936年，阿蘭·圖靈提出了一種抽象的計算模型 —— 圖靈機 (Turing Machine)。

圖靈的基本思想

圖靈的基本思想是用機器來模擬人們用紙筆進行數學運算的過程，他把這樣的過程看作下列兩種簡單的動作：

在紙上寫上或擦除某個符號;

把注意力從紙的一個位置移動到另一個位置;

而在每個階段，人要決定下一步的動作，依賴于 (a) 此人當前所關注的紙上某個位置的符號和(b) 此人當前思維的狀態(tài)。

為了模擬人的這種運算過程，圖靈構造出一臺假想的機器，該機器由以下幾個部分組成：

1.一條無限長的紙帶 TAPE。紙帶被劃分為一個接一個的小格子，每個格子上包含一個來自有限字母表的符號，字母表中有一個特殊的符號 表示空白。紙帶上的格子從左到右依此被編號為 0, 1, 2, ... ，紙帶的右端可以無限伸展。

2.一個讀寫頭 HEAD。該讀寫頭可以在紙帶上左右移動，它能讀出當前所指的格子上的符號，并能改變當前格子上的符號。

3.一套控制規(guī)則 TABLE。它根據當前機器所處的狀態(tài)以及當前讀寫頭所指的格子上的符號來確定讀寫頭下一步的動作，并改變狀態(tài)寄存器的值，令機器進入一個新的狀態(tài)。

4.一個狀態(tài)寄存器。它用來保存圖靈機當前所處的狀態(tài)。圖靈機的所有可能狀態(tài)的數目是有限的，并且有一個特殊的狀態(tài)，稱為停機狀態(tài)。參見停機問題。

注意這個機器的每一部分都是有限的，但它有一個潛在的無限長的紙帶，因此這種機器只是一個理想的設備。圖靈認為這樣的一臺機器就能模擬人類所能進行的任何計算過程。

在某些模型中，紙帶移動，而未用到的紙帶真正是“空白”的。要進行的指令(q4)展示在掃描到方格之上(由 Kleene (1952) p.375 繪制)。

在某些模型中，讀寫頭沿著固定的紙帶移動。要進行的指令(q1)展示在讀寫頭內。在這種模型中“空白”的紙帶是全部為 0 的。有陰影的方格，包括讀寫頭掃描到的空白，標記了 1,1,B 的那些方格，和讀寫頭符號，構成了系統(tǒng)狀態(tài)。(由 Minsky (1967) p.121 繪制)。

圖靈機的形式化定義

一臺圖靈機是一個七元組 (Q,Σ,Γ,δ,q0,qaccept,qreject)，其中 Q,Σ,Γ 都是有限集合，且滿足

1.Q 是狀態(tài)集合;

2.Σ 是輸入字母表，其中不包含特殊的空白符 □;

3.Γ 是帶字母表，其中 □∈Γ且Σ∈Γ ;

4. δ:Q×「→Q×?！羬L,R}是轉移函數，其中L,R 表示讀寫頭是向左移還是向右移;

5.q0∈Q是起始狀態(tài);

6. qaccept是接受狀態(tài)。

7.qreject是拒絕狀態(tài)，且 。 qreject≠qaccept

圖靈機 M = (Q,Σ,Γ,δ,q0,qaccept,qreject) 將以如下方式運作：

開始的時候將輸入符號串 從左到右依此填在紙帶的第 號格子上， 其他格子保持空白(即填以空白符)。 M 的讀寫頭指向第 0 號格子， M 處于狀態(tài) q0。 機器開始運行后，按照轉移函數 δ 所描述的規(guī)則進行計算。 例如，若當前機器的狀態(tài)為 q，讀寫頭所指的格子中的符號為 x， 設 δ(q,x) = (q',x',L)， 則機器進入新狀態(tài) q'， 將讀寫頭所指的格子中的符號改為 x'， 然后將讀寫頭向左移動一個格子。 若在某一時刻，讀寫頭所指的是第 0 號格子， 但根據轉移函數它下一步將繼續(xù)向左移，這時它停在原地不動。 換句話說，讀寫頭始終不移出紙帶的左邊界。 若在某個時刻 M 根據轉移函數進入了狀態(tài) qaccept， 則它立刻停機并接受輸入的字符串; 若在某個時刻 M 根據轉移函數進入了狀態(tài) qreject， 則它立刻停機并拒絕輸入的字符串。

注意，轉移函數 δ 是一個部分函數， 換句話說對于某些 q,x， δ(q,x) 可能沒有定義， 如果在運行中遇到下一個操作沒有定義的情況， 機器將立刻停機。

停機問題

停機問題(halting problem)是目前邏輯數學的焦點，和第三次數學危機的解決方案。其本質問題是: 給定一個圖靈機 T，和一個任意語言集合 S, 是否 T 會最終停機于每一個。其意義相同于可確定語言。顯然任意有限 S 是可判定性的，可數的(countable) S 也是可停機的，在使用 oracle 輸入的幫助下。

通俗的說，停機問題就是判斷任意一個程序是否會在有限的時間之內結束運行的問題。如果這個問題可以在有限的時間之內解決，可以有一個程序判斷其本身是否會停機并做出相反的行為。這時候顯然不管停機問題的結果是什么都不會符合要求。所以這是一個不可解的問題。

停機問題本質是一階邏輯的不自恰性和不完備性。類似的命題有理發(fā)師悖論、全能悖論等。

證明:

設停機問題有解，即：存在過程H(P, I)可以給出程序P在輸入I的情況下是否可停機。假設若P在輸入I時可停機，H輸出“停機”，反之輸出“死循環(huán)”，即可導出矛盾：

顯然，程序本身可以被視作數據，因此它可以被作為輸入，故H應該可以判定當將P作為P的輸入時，P是否會停機。所以我們設過程K(P)的流程如下：首先，它調用H(P, P)，如果H(P, P)輸出“死循環(huán)”，則K(P)停機，反之K(P)死循環(huán)。即K(P)做與H(P, P)的輸出相反的動作。

現在假設求K(K)，則若H(K, K)輸出停機，K(K)死循環(huán)，但由定義知二者矛盾。反之，H(K, K)輸出死循環(huán)，則K(K)停機，兩者一樣矛盾。

因此，H不是總能給出正確答案，故而不存在解決停機問題的方法。

通用圖靈機

對于任意一個圖靈機，因為它的描述是有限的，因此我們總可以用某種方式將其編碼為字符串。 我們用 表示圖靈機 M 的編碼。

我們可以構造出一個特殊的圖靈機，它接受任意一個圖靈機 M 的編碼 ，然后模擬 M 的運作，這樣的圖靈機稱為通用圖靈機(Universal Turing Machine)?，F代電子計算機其實就是這樣一種通用圖靈機的模擬，它能接受一段描述其他圖靈機的程序，并運行程序實現該程序所描述的算法。但要注意,它只是模擬,因為現實中的計算機的存儲都是有限的，所以無法跨越有限狀態(tài)機的界限。

圖靈機的變體

圖靈機有很多變種，但可以證明這些變種的計算能力都是等價的，即它們識別同樣的語言類。 證明兩個計算模型 A 和 B 的計算能力等價的基本思想是： 用 A 和 B 相互模擬， 若 A 可模擬 B 且 B 可模擬 A， 顯然他們的計算能力等價。注意這里我們暫時不考慮計算的效率，只考慮計算的理論上“可行性”。

首先我們可以發(fā)現，改變圖靈機的帶字母表并不會改變其計算能力。例如我們可以限制圖靈機 的帶字母表為 {0,1}，這并不會改變圖靈機的計算能力，因為我們顯然可以用帶字母表為 {0,1} 的圖靈機模擬帶字母表為任意有限集合 Γ 的圖靈機。

另一個要注意的是，如果我們允許圖靈機的紙帶兩端都可以無限伸展，這并不能增加圖靈機的計 算能力，因為我們顯然可以用只有紙帶一端能無限伸展的圖靈機來模擬這種紙帶兩端都可以無限 伸展的圖靈機。

如果我們允許圖靈機的讀寫頭在某一步保持原地不動，那也不會增加其計算能力，因為我們可以用 向左移動一次再向右移動一次來代替在原地不動。

其它的常見圖靈機變種包括：

多帶圖靈機

非確定型圖靈機

枚舉器

圖靈可計算性

圖靈可識別語言

圖靈可判定語言

遞歸可枚舉語言

可計算函數

遞歸函數

停機問題

可判定性

不可判定性

其它等價的計算模型

除了圖靈機以外，人們還發(fā)明了很多其它的計算模型。包括：

寄存器機

遞歸函數

λ演算

生命游戲

馬爾可夫算法

然而這些模型無一例外地都和圖靈機的計算能力等價，因此邱奇，圖靈和哥德爾 提出了著名的邱奇-圖靈論題：一切直覺上能行可計算的函數都可用圖靈機計算，反之亦然。